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Mathematische Funktionen (7) ->

Newton'sches Näherungsverfahren zur Nullstellenermittlung (292)
 
 
Aufgabe
Mit dem Netwon'schen Näherungsverfahren können Nullstellen von Gleichungen höheren Grades berechnet werden.
Für den Grad der Gleichung gibt es grundsätzlich keine Einschränkung. Es handelt sich allerdings um keine exakte mathematische Lösung, sondern nur um eine (sehr genaue) Näherung.

       A               B               C               D               E               F               G               H       
1 2,0367    380  -857,6    Schätzwert:  3  
2 1,20689655  -9,468877    -857,6  1426,2      3,4479573  
3 1,4137931  -12,60632    713,1  -864      3,3597113  
4 1,62068966  -11,00784    -288  242,68      3,3629361  
5 1,82758621  -7,272992    60,67  -32      3,3629387  
6 2,03448276  -3,149371    -6,4  1,6002      3,3629387  
7 2,24137931  0,301743    0,2667      3,3629387  
8 2,44827586  2,554807            3,3629387  
9 2,65517241  3,484489            3,3629387  
10 2,86206897  3,245217      Nullstelle:    3,3629387  3,3629387 




Lösung
In D1:D7 stehen die Polynom-Koeffizienten einer Gleichung 6.Grades, beginnend mit der kleinsten Potenz.
Die Funktion im Beispiel lautet also
y=0,2667x^6-6,4x^5+60,67x^4-288x^3+713,1x^2-857,6x+380

Schreibe in E1 =ANZAHL(D$1:D1)*D2
und kopiere die Formel bis E7. Dies ist die erste Ableitung der Funktion

In A1:A30 steht ein X-Werte-Bereich
Da die Nullstellen im Bereich von 1 bis 7 liegen, schreibe in A1:=1, in A30:=7 in A2 steht =($A$30-$A$1)/29+A1, dies kopierst Du bis A29
In B1:B30 stehen die Y-Werte mit
=NBW(1/(A1)-1;D$1:D$7)/A1
(alternativ das Polynom)

Erzeuge ein Punkt(xy)-Diagramm basierend auf Spalte A:B.
Spalte A und B sind zur weiteren Berechnung nicht nötig, sie dienen nur zum grafischen Nachweis.

Gebe in H1 einen Schätzwert der ungefähren Nullstellenposition ein (Im Beispiel 3)
In H2 steht
=H1-(NBW(1/(H1)-1;$D$1:$D$7)/H1)/(NBW(1/(H1)-1;$E$1:$E$7)/H1)
kopiere diese Formel ca. 100 Zeilen nach unten.

Die ermittelte Nullstelle ist der letzte Wert in Spalte H
In dem Fall H101,
allgemein { =INDEX(H:H;MAX(ISTZAHL(H1:H10000)*ZEILE(H1:H10000))) }

Siehe dazu auch Tip und Download Nr. 40

Erläuterung
Die erste Näherung ist der Schätzwert x0, dieser wird eingegeben.
Die zweite Näherung X1 ergibt sich allgemein aus x1 = x0-F(x0)/F'(X0)
F' ist die 1.Ableitung von F

In manchen Fällen muß die Iteration noch weiter als bis 100 erhöht werden. Das gilt besonders in Fällen, in denen die Funktion in der Nähe
vom Schätzwert nahe an den Nullpunkt kommt, aber ihn nicht erreicht.
Dann "irrt" Newton manchmal mehrere hundert Iterationen um den falschen Nullpunkt herum, findet aber irgendwann den Richtigen (Wenn es überhaupt einen gibt)

 
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