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Diagramme (1) ->

Was verbirgt sich hinter dem goldenen Quader

Autor: Klaus Kühnlein
 
 
Aufgabe
Der Goldene Quader heißt nicht so, weil er aus Gold gemacht ist, sondern weil sich seine Abmessungen zueinander nach der Gesetzmäßigkeit des Goldenen Schnittes verhalten:

Höhe/Breite = Breite/Länge = Verhältnis der kleineren zur größeren Teilstrecke einer nach dem Gesetz des Goldenen Schnittes geteilten Gesamtstrecke.

Die Berechnung seiner geometrischen Größen (bei einer Breite = 1)

1) Volumen
2) Oberfläche
3) Raumdiagonale von vorne, unten, links nach hinten, oben, rechts
4) Verhältnis der Oberfläche des Goldenen Quaders zur Oberfläche der umgebenden Kugel, die alle seine Ecken berührt.

ergibt verblüffende Ergebnisse
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Lösung
Die verblüffenden Lösungen beruhen auf verblüffenden Eigenschaften der Zahl Phi, die das Verhältnis der größeren zur kleineren Teilstrecke einer im Goldenen Schnitt geteilten Gesamtstrecke angibt:

Phi = (WURZEL(5)+1)/2.

Das interessante an der Zahl Phi ist, dass ihr Kehrwert 1/Phi genau um 1 kleiner ist als sie selbst:

1 / Phi = Phi – 1

Mit etwas Algebra und den gegebenen Dimensionen:

Breite = 1
Höhe = Breite / Phi = 1 / Phi = Phi -1
Länge = Breite * Phi = 1 * Phi = Phi

kommen diese Ergebnisse raus:

1) Volumen = 1
2) Oberfläche = 4 * Phi
3) Raumdiagonale = 2
4) Oberflächenverhältnis Goldener Quader zu umgebender Kugel = Phi / Kreiszahl Pi.
Wenn man die Diagonale kennt, dann kennt man den Radius der umgebenden Kugel. Er ist die halbe Raumdiagonale, weil jede der acht Ecken von der Mitte des Goldenen Quaders gleich weit entfernt ist. Eine Kugel mit dem Radius 1 hat eine Oberfläche von 4 * Pi und somit wird das Oberflächenverhältnis Phi/Pi, eine ungewöhnlich einfache Beziehung zwischen Phi und Pi.

Diese vier Lösungen erhält man auch ohne große Algebrakenntnisse, wenn man folgende Formeln in Excel eingibt

Einmal Phi ausgerechnet:
A1: =(WURZEL(5)+1)/2

1) Volumen
=A1*1*1/A1

2) Oberfläche
=2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1
und =2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1=4*A1 'beweist', dass die Oberfläche = 4*Phi ist.

3) Raumdiagonale
Diagonale = Wurzel aus der Summe der Quadrate von Länge, Breite und Höhe
=WURZEL(A1^2+1^2+(1/A1)^2)

4) Oberflächenverhältnis
eine Kombination der Formeln für die Kugeloberfläche 4 * r^2 * Pi, Diagonale und Quaderoberfläche wird mit dem Verhältnis Phi zu Pi verglichen:

=4*(WURZEL(A1^2+1^2+(1/A1)^2)/2)^2*PI()/(2*A1*1+2*A1*1/A1+2*1*1/A1)=PI()/A1

 
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